[유체동역학] 5. 차원해석과 상사이론[Dimensional Analysis and Dynamic Similarity]

한강같이 매우 큰 강에서의 흐름에 대해서 이해하려면 어떻게 해야 할까? 당연히 한강의 모든 곳에서의 흐름을 측정하면 된다. 그런데 이건 현실적으로 불가능하다. 가능하더라도, 그런 거는 시간이 넘쳐흐르는 사람이 할 법한 일이고, 효율성을 추구해야 하는 공학자로서는 하면 안되는 일이다. 

드론이나 인공위성을 활용하면 넓은 영역에서의 자료를 단기간 내에 확보할 수도 있지만, 영상기반 자료 획득의 특성상 질적으로 내가 원하는 수준에 미치지 못할 수도 있다.

그렇다면 다른 어프로치는 컴퓨터를 활용한 계산인데, 이 또한 만만치 않고, 이는 결국 실제와는 다른 값을 보일 수밖에 없다. 물론 컴퓨터를 활용한 계산이 더 가치있는 자료를 내놓기도 하지만, 아무튼 내가 알고 싶은 게 실제 한강이라면 결국 실제 자료에 대한 갈망이 여전할 수도 있다. 

서론이 다소 길어졌는데, 아무튼 내가 하고 싶은 말은 실험실의 수로에서 내가 만들어낸 흐름이 한강에서의 흐름과 유사하다고 주장할 수는 없을까? 만약 유사하다고 주장할 수 있다면 그 유사함의 기준은 무엇일까? 

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한강에서의 흐름과 실험실에서의 흐름은 당연히 다른 길이, 다른 유속, 다른 유체의 특성을 갖는다. 그러나 여전히 비슷하다고 주장할 수 있는 방법이 있다. 유체역학에서 이러한 비슷함을 동역학적 상사성을 갖는다고 한다. 

어떤 유체와 관련된 변수 $f$가 있다고 하고, 이 변수는 여러가지 다른 매개변수들에 의해 결정된다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 표현이 가능하겠다.

$$f(D, U, \rho, L, \Delta p, \mu, z, a \sigma, \gamma, E) = 0$$

변수들은 앞에서부터 깊이, 속도, 밀도, 길이, 압력, 동점성계수, 위치, 가속도, 표면장력, 비중량, 탄성계수 등등이다. 과거의 글에서 잠시 소개한 적이 있는데, 이러한 매개변수들은 세 가지로 구분된다. 1] 기하학적 매개변수 2] 운동학적 매개변수 3] 동역학적 매개변수

기하학적 매개변수는 깊이, 길이, 위치와 같이 길이의 차원만을 갖는 매개변수를 말한다.

운동학적 매개변수는 속도와 가속도와 같이 길이와 더불어 시간의 차원까지 갖는 매개변수를 말한다. 

동역학적 매개변수는 밀도, 압력, 동점성계수와 같이 길이와 시간과 더불어 질량 또는 힘의 차원까지 갖는 매개변수를 말한다. 종종 동역학적 매개변수에는 시간의 차원이 없는 경우도 있는데, 질량 혹은 힘이 있으면 동역학적 매개변수이다.

 

여기서 간단한 기하학적 상사가 적용되는 예시를 들자면, 

Kundu의 Fluid mechanics

왼쪽 배의 특성을 나타내는 길이는 $d$와 $l$만이 있다고 가정하고, 오른쪽 배는 $d_1$과 $l_1$만이 있다고 하자. 그런데 이 때 $A = d/l $ $ A_1 = d_1 / l_1$이 정의하자. 여기서 $A$와 $A_1$은 길이를 길이로 나눈 수이므로 무차원수이다. 그리고 $A=A_1$이 성립한다면, 두 배는 기하학적 상사성을 갖는 것이다. 

이처럼 상사이론이란 기본적으로 유체에 흐름에 관한 무차원수를 찾아서 그 무차원수끼리 비교를 하는 것이다. 방금의 예시는 길이에 대한 매개변수가 두 개밖에 없다고 가정을 했고, 두 길이로 표현되는 무차원수는 하나밖에 없기 때문에 쉽게 무차원수를 찾았고 쉽게 상사성을 알아볼 수 있었다. 

그런데 만약 운동학적 매개변수와 동역학적 매개변수가 추가되고, 매개변수의 개수 자체가 매우 늘어나면 무차원수를 찾고 비교하는 과정이 매우 복잡해진다. 이러한 경우에서 일반적으로 차원해석을 하는 방법은 다음과 같다. 먼저 여러 매개변수 중에서 다른 자기 자신이 아닌 매개변수들과의 관계를 설명하는데 쓰일 기하학적, 운동학적, 동역학적 매개변수를 하나씩 찾는다. 유체 시스템을 구성하는 기본적인 차원은 시간, 길이, 질량이므로 내가 찾은 세 개의 매개변수들로 시간, 길이, 질량의 scale을 결정할 수 있어야 한다. 

예를 들면, 가장 먼저 기하학적 매개변수는 깊이 $D$를 선택할 수 있다. $D$ 자체가 길이의 스케일이 될 수 있으므로 길이의 스케일은 설명된다. 다음으로 운동학적 매개변수는 속도 $U$를 고를 수 있다. $[D/U]=T$이므로 $D$와 $U$를 통해 시간의 스케일을 결정할 수 있다. 여기서 $[D/U]$라고 쓴 것은 $D/U$의 차원을 의미하는 것이고 $T$는 Time을 의미한다. 다음으로 동역학적 매개변수는 밀도 $\rho$를 고를 수 있다. $[\rho D^3] = M$이므로 밀도와 깊이를 통해 질량 스케일을 결정할 수 있다. 

각 매개변수를 하나씩 골랐고, 이렇게 고른 매개변수를 반복변수라고 말할 것이다. 이는 차원해석에서 이 3개의 변수들이 반복적을 쓰일 것이기 때문이다. 이제 이 반복변수들을 사용하여 위에서 정의한 유체 시스템 $f$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$f \left(\frac{D^{a_1} U^{b_1} \rho ^{c_1}}{L}, \frac{D^{a_2} U^{b_2} \rho ^{c_2}}{\Delta p}, \frac{D^{a_3} U^{b_3} \rho ^{c_3}}{\mu}, \frac{D^{a_4} U^{b_4} \rho ^{c_4}}{\gamma}, ... \right) =0$$

이제 $a, b, c$들의 값을 조절하여 $f$를 구성하는 매개변수들을 무차원화 할 것이다. 무차원화를 하는 일반적인 방법은 다음과 같다. 첫 번째 항으로 설명하면,

$$\left[ \frac{D^{a_1} U^{b_1} \rho ^{c_1}}{L} \right] = M^0 L^0 T^0 $$

$$ \left[ \frac{D^{a_1} U^{b_1} \rho ^{c_1}}{L} \right] = \frac{ (L)^{a_1} (LT^{-1})^{b_1} (ML^{-3})^{c_1} }{L} = M^{c_1} L^{a_1 + b_1 - 3c_1 -1} T^{-b_1}=M^0 L^0 T^0 $$

위의 식이 무차원이 되려면 $c_1 = b_1 = 0$임은 바로 알 수 있고 곧바로 $a_1 = 1$이어야 함도 알 수 있다. 

그런데 솔직히 이건 너무 쉬우니까 세 번째 항으로 하나만 더 계산을 해보자. 세 번째 항에서 점성계수 $\mu$의 단위는 $Pa \cdot s = N/m^2 \cdot s = kg\cdot m/s^2 /m^2 \cdot s = kg/(m\cdot s)$이다. 

$$\left[ \frac{D^{a_3} U^{b_3} \rho ^{c_3}}{\mu} \right] = M^{c_3 - 1} L^{a_3 + b_3 - 3c_3 +1} T^{1-b_3}$$

이게 무차원수가 되려면 $c_3 = 1$, $b_3 = 1$, $a_3 = 1$이어야 함을 알 수 있다. 따라서 점성계수와 관련된 무차원수는 $\frac{DU\rho}{\mu}$이고 이것은 Reynolds number의 정의이다. 이 무차원수는 일반적으로 관성력과 점성력의 비율이라고 해석된다. 이와 같은 몇 가지 무차원수를 소개하고 이번 글은 짧게 마무리하겠다.

 

Froude number

$$\textrm{Fr} = \left[ \frac{\textrm{Inertia force}}{\textrm{Gravity force}} \right] ^{1/2} \propto \left[ \frac{\rho U^2 /l}{\rho g} \right] ^{1/2} = \frac{U}{\sqrt{gl}}$$

 

Mach number

$$\textrm{M} = \left[ \frac{\textrm{Inertia force}}{\textrm{Compressibility force}} \right]^{1/2} \propto \left[ \frac{\rho U^2 /l}{\rho c^2 / l} \right] ^{1/2} = \frac{U}{c}$$

여기서 $c$는 음속이다.

 

Prandtl number

$$\textrm{Pr} = \frac{\textrm{Momentum diffusivity}}{\textrm{Heat diffusivity}} = \frac{\nu}{\kappa} = \frac{\mu / \rho}{k/ \rho C_p} = \frac{C_p \mu}{k}$$

여기서 $\kappa$는 열전도율이고 $C_p$는 비열용량이고 $k$는 열전도율이다.