실제 유체는 점성계수 $\nu$가 0이 아니고, 비록 물과 같이 $10^{-6} m^2 /s$로 매우 작은 값을 같더라도 그 영향은 정확히 0일 때랑은 매우 다르다. 점성이 아예 없으면 유체는 solid surface에서 0이 아닌 tangential velocity를 갖는다. 반면 $\nu$가 0이 아니라면 solid surface에서 no-slip boundary condition을 만족해야 한다. 그리고 solid surface로부터의 매우 얅은 층인 경계층이라는 영역 내에서 viscous effect가 나타나게 된다. 이 경계층 밖을 outer region이라고 하는데, 이 outer region에서는 점성의 영향이 작기 때문에 inviscid and irrotational flow라고 가정했을 때의 흐름으로 실제 흐름을 꽤 잘 예측할 수 있다. 그래서 오늘은 이 outer region에 해당하는 irrotational flow에 대해서 먼저 알아보겠다.
먼저 2차원 비압축성 흐름을 고려하자. 이 경우의 연속방정식은 다음과 같다.
$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$
이 연속방정식은 다음과 같이 정의되는 streamfunction $\psi$의 존재를 보장한다.
$$u \equiv \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v \equiv - \frac{\partial \psi}{\partial x} $$
이와 마찬가지로 irrotationality는 아래와 같은데,
$$\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} =0$$
이는 앞에서 잠시 소개한 적이 있는 velocity potential $\phi$의 존재를 보장한다.
$$u \equiv \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v \equiv \frac{\partial \phi}{\partial x} $$
비회전 유동은 이처럼 velocity potential을 갖기 때문에 포텐셜 유동이라고도 부르는 것이다.
Streamfunction과 velocity potential은 다음과 같이 하나를 알면 다른 하나를 결정할 수 있는 Cauchy-Riemann condition에 있다.
$$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x} $$
이는 equipotential line과 streamline이 수직인 것을 의미하고, 이는 수식으로 다음과 같이 나타난다.
$$\nabla \psi \cdot \nabla \phi = 0$$
그리고 velocity potential과 streamfunction 모두 Laplace equation을 만족한다.
$$\nabla ^2 \phi = \nabla ^2 \psi = 0$$
이러한 라플라스 방정식을 풀 때는 해를 직접 구하기보다도 inverse approach를 사용하는데, 해가 harmonicd function이라고 가정하고 해를 찾는 것이다. 라플라스 방정식의 해를 구하면, potential 또는 streamfunction을 미분해서 유속을 구할 수 있고, 이후에 베르누이 방정식을 통해 압력 분포를 찾을 수 있다.
포텐셜유도에서는 몇 가지 중요한 유속분포를 극좌표를 통해 간편하게 설명할 수 있는데, 이를 위해 다음과 같이 극좌표에서 쓰인 몇 가지 방정식들을 알아야 한다.
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (ru_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} = 0 \quad (\mathrm{Continuity})$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r u_{\theta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} = 0 \quad (\mathrm{Irrotationality})$$
$$u_r = \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$$
$$u_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r} $$
뒤에서 나오는 여러 흐름을 설명할 때 복소변수를 도입하면 매우 편한다.
$$z \equiv x+iy = re^{i\theta}$$
좌표에 대한 복소변수 말고 potential과 streamfunction에 대한 복소변수도 도입한다.
$$w=\phi + i \psi$$
$\phi$와 $\psi$가 $x$와 $y$에 대한 함수이므로, $w$도 그러하다.
그리고 $w$의 실수부와 허수부가 위에서 언급한 Cauchy-Riemann condition을 만족한다면 $dw/dz$가 unique하다는 것이 알려져있다. 여기서 unique하다는 것은, $\delta w / \delta z$에서 $\delta z$가 0으로 갈 때 저 미분의 값이 방향과 관계없다는 것을 의미한다. 따라서 실수축을 따라서 미분을 하여도 unique한 값을 얻을 수 있고 다음이 성립한다.
$$\frac{dw}{dz} = \displaystyle \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta w}{\delta x} = \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\phi + i \psi) = u-iv = qe^{-i \alpha} $$
$y$축을 따라서 미분해도 똑같은 결과를 얻을 수 있을 것이다.
이제 여러 가지 경우의 potential flow에 대해서 알아볼 것이다.
먼저 $w=Az^n \quad (n>= 1/2)$과 같은 complex potential이 있다고 하자. 이 흐름이 어떤 흐름인지를 알아보는 것이다.
$z$가 complex variable이므로 $w=A(re^{i\theta})^n = Ar^n (\cos n\theta + i \sin n \theta)$라고 할 수 있다. 그렇다면 다음을 얻을 수 있다.
$$\phi = Ar^n \cos n\theta , \quad \psi = Ar^n \sin n\theta$$
여기서 $\theta = 0$일 때와 $\theta = \pi /n$일 때 $\psi=0$이다. 따라서 이 complex potential은 두 각을 각도로 하는 벽에 둘러쌓인 흐름이라고 볼 수 있다. 그리고 $\theta=\pi/n$인 벽에 대해서
$$\frac{dw}{dz} = nAz^{n-1}= \frac{A\pi}{\theta} z^{(\pi -\theta)/\theta}$$
인데, 원점에서, 즉 $z$가 0으로 가는 상황에서 $\theta < \pi$이면 지수가 0보다 크게 되어서 $dw/dz=0$이 되고, $\theta>\pi$이면 $dw/dz=\infty$가 된다.
즉, 두 벽 사이의 각도가 180도보다 작을 때는 두 벽 사이의 코너가 stagnation point가 되고, 180보다 클 때는 infinite velocity point가 된다. Stagnation point란 국부적으로 유속이 0이 되는 곳으로, 아래의 왼쪽 그림에서의 두 벽이 만나는 원점에 해당한다. 반면 infinite velocity point는 국부적으로 유속이 무한대가 되는 것으로 아래 오른쪽 그림에서 실제로는 같은 벽인 두 벽이 만나는 원점에 해당한다.
이번에는 다음과 같은 complex potential을 고려해보자.
$$w=\frac{m}{2\pi} \ln z = \frac{m}{2\pi} \ln (re^{i\theta})$$
여기서는 $\ln$ 이 있으므로 로그 안에 들어가있는 것이 곱셈의 형태인 것이 편하다. 전개하면 다음을 쉽게 알 수 있다.
$$\phi = \frac{m}{2\pi} \ln r , \quad \psi = \frac{m}{2\pi} \theta $$
로그 안에 곱셈을 유지하기 위해 극좌표를 사용했으므로 극좌표미분을 통해 다음과 같이 유속을 얻을 수 있다.
$$u_r = \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{m}{2\pi r} $$
$$u_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r} = 0$$
이 극좌표 미분 공식을 기억하는 게 어려울 수도 있는데, 먼저 $r$로 미분하는 경우에는 그냥 미분만 하면 된다. 그리고 직교좌표계에서 streamfunction을 미분할 때, $x$로 미분해서 $v$를 얻을 때 앞에 마이너스가 붙었던 것처럼, streamfunction을 $r$로 미분해서 $u_{\theta}$를 구할 때 앞에 마이너스를 붙이면 된다. 그리고 $\theta$로 미분을 할 때는 단위를 생각해보면 되는데, $\theta$는 단위가 없다. 그런데 $r$은 길이의 단위를 갖기 때문에 앞에 기본적으로 $\frac{1}{r}$이 붙는다고 생각하면 된다.
아무튼 계산된 유속을 보면 $r$방향으로의 속도만 존재하고 회전방향으로는 속도가 없다. 따라서 이거는 $m$이 양수인 경우에는 원점이 source라서 원점에서 모든 방향으로 뻗어나가는 흐름인 것이고, 음수이면 원점이 sink라고 주변 모든 방향에서 원점으로 빨려들어가는 흐름인 것이다. 만약에 source 또는 sink를 $z=a$에 위치시키고 싶으면 간단하게 complex potential을 다음과 같이 쓰면 된다.
$$w=\frac{m}{2\pi} \ln (z-a)$$
참고로 이런 상황에서는 2차원 평면상에서의 흐름을 보는 것이기 때문에 $m$은 volume flow rate per unit depth이고 단위는 $m^2 /s$이다.
이번에는 이런 complex potential을 고려해보자.
$$w=-\frac{i\Gamma}{2\pi} \ln z$$
여기서도 로그가 있으니까 극좌표계를 통해 복소변수를 분리하면
$$\phi = \frac{\Gamma}{2\pi} \theta , \quad \psi = - \frac{\Gamma}{2\pi} \ln r $$
미분해서 속도를 계산하면 다음을 쉽게 알 수 있다.
$$u_r = 0, \quad u_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$$
여기서 $\Gamma$는 반시계방향의 circulation이고 이러한 흐름은 위의 그림과 같이, 원점에서 멀어지는 방향으로는 전혀 흐름이 없고 각 지점에서 원점과 거리를 유지한채 회전만 한다. 그런데 이러한 회전이 유체 입자 자체가 회전하는 것은 아니라서 irrotational vortex라는 이름을 붙인 것 같다.
이번에는 같은 강도의 source와 sink가 떨어져있다가 서로 가까워지는 경우를 생각해보자.
먼저 source와 sink가 원점에서 각각 다른 방향으로 $\epsilon$만큼 떨어져있다고 생각한다. 그렇다면 이 때의 complex potential은 다음과 같다.
$$w = \frac{m}{2\pi} \ln (z+\epsilon) - \frac{m}{2\pi} \ln (z-\epsilon) = \frac{m}{2\pi} \ln (\frac{z+\epsilon}{z-\epsilon}) $$
여기서 로그 안에 있는 항을 다음과 같이 조작할 수 있다.
$$\frac{z+\epsilon}{z-\epsilon} = 1+\frac{2\epsilon}{z-\epsilon} = 1+\frac{2\epsilon / z}{1-\epsilon/z} $$
그런데 공비가 1보다 작을 때 등비수열 $a + ar + ar^2 + ...$의 무한합이 $a/(1-r)$인 것을 생각하면, 여기서 $\epsilon$은 0에 가까운 작은 수이므로 다음과 같다.
$$ 1+\frac{2 \epsilon /z}{1-\epsilon /z} = 1 + \frac{2 \epsilon}{z} + ...$$
그런데 $x=0$ 근처에서 $y=x$와 $y=\ln (1+x)$는 같다고 가정하면 최종적으로 다음을 얻을 수 있다.
$$ \frac{m}{2\pi} \ln (\frac{z+\epsilon}{z-\epsilon}) \simeq \frac{m}{2\pi} \ln (1+ \frac{2\epsilon}{z} + ...) \simeq \frac{m}{2\pi} \frac{2\epsilon}{z} = \frac{m \epsilon}{\pi z} $$
그리고 $\epsilon \to 0$일 때 $m\epsilon / \pi$의 극한을 $\mu$라고 정의하면 complex potential은 아래와 같이 정리된다.
$$w = \frac{\mu}{z} = \frac{\mu}{r} e^{-i\theta} =\frac{\mu}{r} ( \cos \theta + i \sin \theta)$$
그리고 직표좌표계의 정의에 의하면 $r=\sqrt{x^2+y^2}$이고 $\cos \theta = x/r$, $\sin \theta = y/r$이므로 이를 계산하면 다음을 얻을 수 있다.
$$\phi = \frac{\mu x }{x^2 +y^2}, \quad \psi = -\frac{\mu y }{x^2 +y^2} $$
$psi$에 대한 표현을 사용하면 다음과 같이 원의 방정식의 형태로 나타낼 수 있다.
$$x^2 + (y+ \frac{\mu}{2\psi} )^2 = (\frac{\mu}{2\psi})^2 $$
Streamline은 streamfunction이 constant한 선을 의미하므로 이 flow의 유선은 x축에 접하면서 원의 중심이 y축에 위치해있는 원들이다.
Source와 sink를 superpose해서 얻은 doublet의 결과를 보면, 마치 irrotational vortex가 거리를 두고 놓여있는 것과도 비슷하게 생겼다. 실제로 irrotational vortex를 거리를 두고 superpose하면 doublet의 flow를 얻을 수 있다.
Source와 sink를 superpose해봤으니, 이번에는 source와 uniform stream을 superpose해보겠다.
x방향으로 흐르는 uniform flow는 $dw/dz=u-iv$를 적분하면 $w=Uz$라는 것을 알 수 있다. 여기에 source를 superpose하면 complex potential은
$$w=Uz + \frac{m}{2\pi} \ln z$$
이고 허수부를 찾으면 다음과 같다.
$$\psi = Ur\sin \theta + \frac{m}{2\pi}\theta$$
그리고 stagnation point를 찾기 위해서 속도를 계산하면
$$u_r = U\cos \theta + \frac{m}{2\pi r}, \quad u_{theta} = -U\sin \theta $$
이라서 $\theta = 0$ 또는 $\theta = \pi$에서 $u_{\theta}=0$이 되는데 $\theta=0$이면 $u_r$이 0이 될 수 없으므로 $\theta = \pi$이어야 한다. 이 때의 $r=a$라고 하면 다음이 성립한다.
$$0=-U + \frac{m}{2\pi a}, \quad a = \frac{2\pi m }{U} $$
이 때의 streamfunction의 값은 $\psi = m/2$이고 이 값을 갖는 streamline은 흐름을 source에서의 흐름과 uniform stream에서의 흐름으로 분리한다. 이러한 흐름을 flow past a half-body라고 한다. 이러한 body의 half width $h$는 다음의 식을 통해 쉽게 찾을 수 있다.
$$\frac{m}{2} = Ur\sin \theta + \frac{m}{2\pi} \theta = Uh + \frac{m \theta}{2\pi} $$
$$h = \frac{m}{2U} (1- \frac{\theta}{\pi})$$
Max half width는 $theta \to 0$일 때 $h_max = m/2U$이다.
한편 pressure distribution은 베르누이 방정식으로부터 얻을 수 있는데, 다음과 같은 pressure coefficient를 사용하는 것이 편리하다.
$$C_p = \frac{p - p_{\infty} } {\frac{1}{2} \rho U^2 } = 1- \frac{q^2}{U^2} $$
이러한 pressure coefficient를 그림으로 나타내면 다음과 같다. Stagnation point에서는 $q=0$이기 때문에 $C_p$가 가장 높다. 그래서 해당 부분에서 가장 큰 pressure excess가 나타나고, 갈수록 $q$가 커지면서 pressure deficit이 나타나는 것을 볼 수 있다.
그 다음은 flow past a circular cylinder without circulation이다. 이는 uniform stream과 doublet을 합쳐서 만들 수 있다. $a \equiv \sqrt{\mu/U}$일 때
$$w=Uz + \frac{\mu}{z}=U(z+\frac{a^2}{z})$$
라고 할 수 있고 여기서 실수부와 허수부는 각각 다음과 같다.
$$\phi = U(r+\frac{a^2}{r})\cos \theta, \quad \psi = U(r-\frac{a^2}{r} )\sin \theta $$
여기서 $r=a$일 때 $\theta$의 값에 관계없이 항상 $\psi=0$이 되는 것을 확인할 수 있고, 이 streamline은 반지름이 $a$인 원을 나타낸다. 이 원주의 안과 밖의 흐름은 서로에게 영향을 미치지 않는다. 유속은 아래와 같다.
$$u_r =U(1-\frac{a^2}{r^2})\cos \theta, \quad u_{\theta} = -U(1+\frac{a^2}{r^2} ) \sin \theta $$
이 때 cylinder surface에서의 유속은 다음과 같고, $\theta = 0$과 $\theta = \pi$에서 stagnation point가 있음을 볼 수 있다.
$$q\vert_{r=a} = \vert u_{\theta}\vert_{r=a} = 2U\sin \theta $$
Pressure distribution on the surface는 아래와 같다.
$$C_p = \frac{p-p_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho U^2 } = 1-\frac{q^2}{U^2} = 1-4\sin ^2 \theta $$
위에 그림에서 볼 수 있듯이, irrotational flow theory로 계산된 pressure distribution은 실린더의 표면에서 대칭을 이루기때문에 net pressure drag가 없다. 하지만 실제로는, 실린더 표면에서 흐름이 박리되어서 생기는 와류로 인해 만들어지는 항력이 큰 부분을 차지하기 때문에 이론과 실제가 차이가 나는 것이다.
흐름에 circulation이 없다면 실린더 표면에 net force가 없다는 것이 결론으로 나타났다. 그렇다면 이번에는 흐름에 circulation을 도입했을 때, 측면방향의 힘, 다시 말해서 비행기 날개의 양력과 비슷한 힘이 생긴다는 것을 보일 것이다.
시계방향 circulation $-\Gamma$가 추가된 흐름은 아래와 같다.
$$w=U(z+\frac{a^2}{z}) + \frac{i\Gamma}{2\pi} \ln (z/a) $$
$$\psi = U(r-\frac{a^2}{r})\sin \theta + \frac{\Gamma}{2\pi} \ln (r/a) $$
위의 그림을 보면 각기 다른 $\Gamma$ value에 따른 streamline의 양상을 볼 수 있다. 실린더 위쪽에서 유선간의 간격이 좁고 높은 유속이 나타나는것은 시계방향의 circulation이 해당 부분에서의 흐름을 강화하기 때문이다.
Tangential velocity는 다음과 같다.
$$u_{\theta} = -U(1+\frac{a^2}{r^2})\sin \theta - \frac{\Gamma}{2\pi r} $$
그리고 $r=a$에서의 tangential velocity, 즉 실린더 표면에서 표면을 따라 흐르는 속도는 다음과 같다.
$$u_{\theta}\vert_{r=a} = -2U\sin \theta - \frac{\Gamma}{2\pi a}$$
만약 $\sin \theta = - \Gamma / (4\pi aU)$이면 실린더 표면에서의 속도가 0이된다.
이를 만족시키는 $\theta$는 $\Gamma < 4\pi a U$일 때 두 개가 존재하고, 이 사실은 이러한 경우에서 실린더 표면에 두 개의 stagnation point가 있다는 것을 알려준다. $\Gamma$가 증가하면서 stagnation point는 점점 아래로 내려오고 $\Gamma = 4 \pi a U$일 때 두 points가 일치하게 된다. 이보다 $\Gamma$가 더 커지면 stagnation point는 y축을 따라서 실린더 표면 밖으로 벗어나게 된다. 이 때의 stagnation point의 위치는 다음 식으로 찾을 수 있다.
$$u_{\theta}\vert_{\theta = -\pi / 2} = U(1+ \frac{a^2}{r^2} ) -\frac{\Gamma}{2\pi r} = 0$$
이 식을 풀면 아래를 얻는다.
$$r = \frac{1}{4 \pi U} [ \Gamma \pm \sqrt{\Gamma^2 - (4 \pi a U)^2 } ]$$
이제 실린더 표면의 압력분포를 알아보기 위해 다시 베르누이 방정식을 통해 계산한다.
$$p_{r=a} + \rho u_{\theta}^2 \vert_{r=a}/2 = p_{\infty} + \rho U^2 /2$$
$u_{\theta}\vert_{\theta = -\pi / 2} = U(1+ \frac{a^2}{r^2} ) -\frac{\Gamma}{2\pi r} = 0$이므로
$$ p_{r=a} = p_{\infty} + \frac{1}{2} \rho [U^2 - (-2U \sin \theta - \frac{\Gamma}{2\pi a})^2 ] $$
위의 그림에서도 알 수 있듯이, 이 흐름은 y축에 대해서 대칭이므로 x방향의 힘이 없다는 것을 의미하고 y방향의 힘만 존재하고 그러한 힘은 양력 또는 lift라고 불리고 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$L=-\int_{0}^{2\pi} p_{r=a} \sin \theta a d\theta $$
$\int_{0}^{2\pi} \sin \theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sin ^3 \theta d \theta = 0$이므로 적분에서 계산할 것은
$$-\int_{0}^{2\pi} - \frac{\rho}{2} \frac{2U\Gamma \sin ^2 \theta}{\pi} d\theta$$
이다. 적분을 계산하면 결과적으로 다음을 얻는다.
$$L=\rho U \Gamma$$
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