유체역학에서 아주 중요한 개념이고 유체역학의 발전에 큰 기여를 한 차원해석 및 상사이론이라는 개념이 있다. 이번 글의 주제가 차원해석 및 상사이론인 것은 아니고, 그건 나중에 쓸 주제이다. 그런데 왜 지금 그 얘기를 하냐? 상사이론에서 유체에 대한 여러 변수들을 크게 세 가지로 구분하는데 1. 기하학적 변수 2. 운동학적 변수 3. 동역학적 변수이다.
먼저 기하학적 변수는 오직 길이의 차원만을 가지는 변수들을 의미한다. 예를 들면 길이는 단위가 $m$이므로 기하학적 변수이고 면적과 부피도 단위가 각각 $m^2$과 $m^3$이므로 기하학적 변수이다.
그렇다면 운동학적 변수는 뭐냐? 길이와 더불어 시간의 차원을 갖는 변수를 의미한다. 예를 들면 속도의 단위는 $m/s$이므로 속도는 운동학적 변수이다. 동역학적 변수는 여기에 힘 또는 질량의 차원까지 더해진 것을 의미한다.
여기까지 읽었으면 대충 예상할 수 있겠지만, 운동학 Kinematics라는 것은 길이와 시간만을 포함하는 변수만을 바라보는 관점이다. 속도, 가속도, 변형, 회전 등이 그 예시이고, 운동학은 어떠한 motion의 형태에만 관심을 갖는다. 그 motion을 일으키는 원인인 힘에는 관심을 갖지 않는다.
유체의 움직임을 기술하는 방법은 Lagrangian description와 Eulerian description으로 두 개가 있다. 라그랑지안 description은 한 유체 입자가 움직이는 경로를 따라가며 유체의 움직임을 분석하는 것이다. 그래서 시간과 해당 유체 입자의 label을 유체 입자를 설명하기 위한 독립 변수로 갖는다. Label이라는 표현은 Kundu의 책에서 차용한 표현인데, 별 거는 아니고 그냥 그 입자에 이름표를 달아놔서 각기 다른 입자들을 구분할 수 있게 해주는 목적이다. 이러한 label은 주로 어떤 시간대$(t=0)$에서의 유체 입자의 위치 벡터 $\mathbf{a}$를 사용한다. 예를 들면 내가 관심있는 어떤 흐름 변수 $F$가 있을 때 이 변수는 $F(\mathbf{a}, t)$로 표현될 수 있다.
Eulerian description은 입자를 고정하는 것이 아니고, 위치를 고정해서 그 위치$(r')$만 바라보는 것이다. 그래서 흐름을 설명하기 위한 독립 변수는 위치 $r'$과 시간 $t'$이다. 여기서 $'$을 붙인 것은 다른 의미가 있는 것은 아니고 위의 Lagrangian에 대한 설명과 구분하기 위함이다.
우리가 일반적으로 고체에 대해서 갖는 관점이 라그랑지안이다. 어떤 입자를 정확히 tracking할 수 있으면 라그랑지안의 관점으로 분석하면 된다. 그러면 속도와 가속도도 단순하게 시간에 대한 미분으로 나타낼 수 있다. Lagrangian approach는 particle identity를 유지할 수 있을 때 유효하다.
$$\mathbf{u} = \partial \mathbf{r} / \partial t, \quad \mathbf{a} = \partial \mathbf{u} / \partial t = \partial ^2 \mathbf{r} / \partial t^2$$
하지만 Eulerian에서는 particle identity가 보장되지 않는다. Eulerian에서의 입자미분 $\partial / \partial t' $는 어떤 고정된 점 $\mathbf{r'}$에서의 국부적인 변화만을 알려주며, 유체 입자의 전제 변화를 알려주지는 않는다. Eulerian approach에서 유체 입자의 어떤 변화를 알고 싶으면 다른 항이 추가되어야 한다.
일반적으로 대부분의 유체역학 문제에서 오일러리안이 사용되고, 라그랑지안은 identity가 보장된 유체 입자가 이동하는 경로에 관심을 갖는 특별한 경우에 사용된다. 오일러리안이 주로 사용되는 이유는 생각해보면 당연한데, 유체는 일반적으로 매우 많은 입자로 구성된 연속체로 취급된다. 연속체라는 것은, 실제로 입자들은 떨어져있지만 그 거리가 매우 작아서 떨어져있지 않고 연속적으로 존재한다고 가정하는 것이다. 오일러리안은 이 연속체 전체에 대한 물리량을 한 번에 기술할 수 있는 반면, 라그랑지안은 개별 입자를 추적해야 하기때문에 관심을 갖는 입자 수가 많아질 경우 계산량도 많아지고 분석도 오래 걸린다.
이제 오일러리안에 대해 알아볼건데, 위에서 Eulerian approach에서 유체 입자의 어떤 변화를 알고 싶으면 다른 항이 추가되어야 한다고 했다. 이 다른 항이 추가된 형태를 물질미분, 영어로는 material derivative라고 한다. 변수들이 비슷해서 조금 헷갈릴 수도 있는데, 위에 '이 붙은 변수는 오일러리안이고 붙지 않은 변수는 라그랑지안이라고 생각하면 된다.
$F$를 어떤 field variable이라고 하자. Field variable이라는 것은 단지 어떤 변수에 공간에 대해 분포하고 있다는 것이다. $F$는 온도일 수도 있고 속도일 수도 있고 압력일 수도 있다. $F(\mathbf{r'},t')$은 오일러리안이고 $t=0$일 때 $\mathbf{a}=\mathbf{r}(t=0)$어떤 위치벡터 $\mathbf{a}$에 대해서 $F(\mathbf{a},t)$는 라그랑지안이라고 하자. 그리고 이 둘이 같은 위치와 시간을 고려하자. 즉, $F(\mathbf{r'},t')=F(\mathbf{a},t)$인 상황이다. 우리가 원하는 것은 particle derivative를 오일러리안의 형태로 표현하고 싶은 것이다. 먼저 라그랑지안으로는 정확하게 $(\partial F / \partial t)_\mathbf{a}$로 표현할 수 있다.
그런데 $F(\mathbf{r'},t')=F(\mathbf{a},t)$인 상황이라고 했으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$F(\mathbf{a},t)=F[\mathbf{r}(\mathbf{a},t]=F(\mathbf{r'},t')$$
이제 미분 $(\partial F / \partial t)_\mathbf{a}$를 구할 건데, $F(\mathbf{a},t)$는 단지 $t$로 미분하면 되는데, $ F(\mathbf{r'},t')$에서는 독립변수 중에 $t$가 없기 때문에 등호를 유지하기 위해 $t$로 미분하려면 각 변수들을 chain rule에 의해 속미분해야 한다. 따라서 다음이 성립한다.
$$[\partial F(\mathbf{a}, t)/ \partial t]_\mathbf{a} = (\partial F / \partial t')_\mathbf{r'} (\partial t' / \partial t) + (\partial F / \partial \mathbf{r'} )_{t'} \cdot (\partial \mathbf{r'} / \partial \mathbf{r} ) \cdot (\partial \mathbf{r} / \partial t)_\mathbf{a}$$
매우 clear하게 이해가 되는 표현이다. 우변의 첫 번째 항은 $t'$에 대한 미분이고 두 번째 항은 $\mathbf{r'}$에 대한 미분이다. 그리고 $\partial t' / \partial t$는 사용되는 시간의 비율인데, 오일러리안과 라그랑지안에서 시간이 달라질 이유는 전혀 없기때문에 $\partial t' / \partial t =1$이다. $\partial \mathbf{r'} / \partial \mathbf{r}$은 오일러리안과 라그랑지안에서 사용되는 좌표계의 변환 행렬이다. $\mathbf{r'}$과 $\mathbf{r}$이 같은 좌표계를 사용한다면 이는 identity matrix $\mathbf{I}$일텐데, 일반적인 경우에서는 두 좌표계 모두 카르테시안 좌표계를 사용하므로 이는 identity matrix이다. 그리고 $(\partial \mathbf{r} / \partial t)_\mathbf{a} = \mathbf{u}$이기 때문에, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
$$(\partial F / \partial t)_\mathbf{a} = \partial F / \partial t' + (\nabla ' F) \cdot \mathbf{u} \equiv DF/Dt$$
$F$가 스칼라가 아니라 벡터 또는 텐서일 경우에 Einstein's tensor notation으로 표현하면 다음과 같다.
$$DF_i /Dt = \partial F_i / \partial t + u_j \frac{\partial F_i}{\partial x_j}$$
최종 결과로 얻은 물질 미분은 주로 $D/DT$와 같이 대문자 $D$로 나타낸다. 유체 입자에 대한 물질 미분이라는 것을 강조하기 위함이다.
여기서 $\partial F / \partial t$는 local rate of change of $F$로, 주로 국부 미분 또는 지역 미분이라고 부른다. 흐름이 완전 steady한 경우에 이 값은 0이다. $\mathbf{u} \cdot \nabla F$는 유체 입자가 어떤 위치에서 다른 곳으로 대류하기 때문에 생긴 변화이므로 대류 미분이라고 부른다.
속도와 가속도와 같이 유체의 움직임에 대한 변수가 변화할 때, 이 변화를 계산하는 방법에 대해서 알아봤다. 그렇다면 이제는 이렇게 계산된 유체의 변수를 표현하는 방법에 대해서 알아본다.
먼저 streamline, pathline, streakline이라는 세 개의 line에 대해서 알아본다. 각각 한국말로는 유선, 유적선, 유맥선이라고 부른다.
Streamline은 어느 시점에서 유속 벡터와 모든 점에서 접하는 곡선이다. 그림으로 나타내면 아래와 같다.
이를 수식을 통해 정의하면, 유선을 따르는 속도벡터는 다음을 만족해야 한다.
$$\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w}$$
유선은 그 정의에서 알 수 있듯이 실제 유체 입자가 움직이는 경로는 아니고 경계층, 박리, 소용돌이 등의 다양한 현상을 대략적으로 파악하는 데 도움이 된다.
다음은 pathline 유적선인데, 이는 identity가 고정된 어떤 유체 입자가 움직이는 궤적이다. 이는 어떤 유체 입자의 어느 위치 벡터가 $\mathbf{a}$일 때 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\mathbf{a},t)$로 나타낼 수 있다. 유적선은 실제 유체 입자가 움직이는 경로라고 할 수 있다.
마지막으로 streakline 유맥선은 어느 점을 통과한 모든 유체 입자의 현재 위치이다. 유맥선의 대표적인 예시는 담배연기이다. 담배의 끝이라는 한 점을 지난 모든 기체 입자의 현재 위치가 담배연기인 것이다.
그리고 흐름이 steady한 경우에, 즉 속도가 시간에 따라서 변화하지 않는 경우에 유선과 유적선은 일치한다. 하나의 예시를 통해 이것을 확인할 수 있다.
$u=ax$이고 $v=-ay$인 steady한 2차원 흐름을 생각해보자. 이 때 streamline의 정의는 $dx/u=dy/v$이므로 각 속도 성분을 대입하면 $dx/ax=-dy/ay$이다. 양변을 모두 적분하면 $\ln x- \ln x_s = -\ln y + \ln y_s$를 얻을 수 있고 여기서 $(x_s , y_s )$는 유선에서의 한 점이다. 이는 $\ln (x/x_s) = -\ln (y/y_s ) = \ln (y_s / y)$이므로 $xy = x_s y_s$가 유선의 방정식임을 알 수 있다. 한편 속도의 정의에 의해 $dx/dt = u =ax$이라서 $dx/x=adt$이고 양변을 적분하면 $\ln x - \ln x_s = at$라서 $x=x_0 e^{at}$이다. 또한 $y$방향에 대해서 $dy/dt = v = -ay$라서 $y=y_0 e^{-at}$임을 알 수 있다. 두 방향의 유적선의 방정식을 곱하면 $xy = x_0 y_0 $임을 알 수 있다. 즉 정상흐름에 대해서 유선과 유적선이 일치함을 보였다.
아직 힘 또는 질량에 대한 내용은 정리하지 않았지만 아마 다음 글에서는 해당 내용이 등장할 것 같다. 결국 지금 kinematics부터 차근차근 정리하는 것이 궁극적으로 dynamics를 위한 빌드업을 하는 것인데, 이 dynamics에서 힘에 반응해서 생기는 결과는 당연히 변형 또는 흐름일 것이다. 변형은 여러 가지 현상을 설명하는 토대가 될 것인데, 그래서 여기서는 몇 가지의 변형을 살펴볼 것이다.
먼저 linear strain rate을 살펴본다. 한국말로는 선형변형률의 시간적 변화율? 정도로 말할 수 있겠다. Strain이라는 개념 자체가 변형의 공간적 비율을 말하는 것이다. 그니까 늘어난 길이 나누기 원래 길이의 개념이고 같은 변수끼리의 나눗셈이라서 차원이 없다. 그리고 strain rate는 이러한 변형의 공간적 비율이 시간적으로 변화하는 비율을 말한다. 말이 조금 복잡한데, 고체에서는 단순히 strain의 개념을 통해 변형하는 정도를 나타내는 것에 비해 유체에서는 strain rate를 사용하는 이유는, 어떤 힘이 고체에 가해졌을 때는 어느 정도로 변형되었다가 다시 원래 상태로 돌아오거나 아니면 그 변형된 상태로 영구적으로 남는 반면 유체에 가해졌을 때는 지속적으로 변형하며 흐르기 때문이다. 그래서 strain만을 생각하면 시간에 따라서 계속 증가할 것이기 때문에 strain을 시간으로 나눠서 변형하는 정도를 strain rate으로 나타내는 것이다. 그리고 무차원변수인 strain을 시간으로 나누기 때문에 linear strain rate의 단위는 $/s$이다.
위와 같은 그림을 생각하자. AB라는 유체 요소가 $x_1$의 방향, 즉 오른 쪽 방향으로 움직이는데 유체 요소의 형태가 AB에서 A'B'으로 늘어난 경우를 생각해보자. 이 때 strain rate는 다음과 같은 식으로 쓸 수 있겠다.
$$\frac{1}{\delta x_1} \frac{D}{Dt} (\delta x_1) = \frac{1}{dt} \frac{A'B' - AB}{AB} $$
그런데 여기서 AB의 길이는 간단하게 $\delta x_1$이다. A'B'의 길이는 A와 B에서의 속도 차이를 이용해서 생각해볼 수 있는데, 먼저 그림에서처럼 A와 B에서의 속도가 각각 $u_1$과 $u_1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1$로 다를 때 변형이 생길 것이다. 매우 clear하게 이해되는 것이 $\frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1$는 단지 $x_1$방향으로의 속도 변화율에 두 점 사이의 거리를 곱한 것이다. 아무튼, 그러면 A와 B의 속도 차이는 $ u_1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1 - u_1 = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1 $이 되고, 이 속도 차이에 시간이 곱해지면 늘어난 길이가 된다. 그렇다면 AB에서 A'B'으로 가기까지 시간이 $dt$만큼 흘렀다면 늘어난 길이는 $\frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1 dt$이고 A'B'의 길이는 $\delta x_1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1 dt$이다. 그렇다면 linear strain rate를 아래와 같이 계산할 수 있겠다.
$$\frac{1}{dt} \frac{A'B' - AB}{AB} = \frac{1}{dt} \frac{1}{\delta x_1} \left[ \delta x_1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \delta x_1 dt - \delta x_1 \right] = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} $$
이런 방법을 다른 방향에 대해서도 똑같이 할 수 있고, 따라서 $\alpha$의 방향에 대한 linear strain rate는 $\partial u_\alpha / \partial x_\alpha $이다. 여기서 $\alpha$는 tensor notation의 summation index가 아니고 그냥 임의의 방향을 말하는 것이다.
서로 수직인 세 방향에 대한 linear strain rate의 합은 부피의 변형률의 시간적 변화율인 volumetric strain rate과 같다. 이를 보이는 것은 쉽다.
$\delta V = \delta x_1 \delta x_2 \delta x_3$라고 하면
$$\frac{1}{\delta V} \frac{D}{Dt} (\delta V) = \frac{1}{\delta x_1 \delta x_2 \delta x_3} \frac{D}{Dt} (\delta x_1 \delta x_2 \delta x_3) = \frac{1}{\delta x_1} \frac{D}{Dt} (\delta x_1) + \frac{1}{\delta x_2} \frac{D}{Dt} (\delta x_2) + \frac{1}{\delta x_3} \frac{D}{Dt} (\delta x_3) $$
$$ = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i}$$
Volumetric strain rate의 결과가 위와 같다는 것은 아는 것이 좋다. 이는 질량보존의 법칙에서 또 볼 수 있기 때문이다.
사실 여기까지 쓰고 나니까, 한 글의 분량이 너무 길어지는 것 같다는 느낌도 든다. 개인적으로 지금 조금 귀찮기도 하고 해서 일단 여기에서 멈추고 다음에 파트를 나눠서 새 글을 쓸까 하다가, 내가 지금 귀찮다고 쉴 처지가 아닌 것 같아서 계속 쓰겠다. 유체동역학을 빨리 정리하고 다른 과목들도 공부해야 하기 때문에..
다음은 shear strain rate이다. 유체가 힘을 받아서 수직 또는 수평 방향으로 늘어나고 줄어들기만 하는 것은 당연히 아닐 것이다.
위의 그림과 같이 각이 변하는 변형도 있을 것이다. 이러한 변형에 대한 strain rate을 shear strain rate이라고 한다. 위에서 linear strain rate을 유도한 방법과 유사하게 아래와 같이 shear strain rate을 정의할 수 있다.
$$\frac{d\alpha + d\beta}{dt} = \frac{1}{dt} \left[\frac{1}{\delta x_2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2} \delta x_2 dt \right) + \frac{1}{\delta x_1} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1} \delta x_1 dt \right) \right] = \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} $$
형태가 linear strain rate와 유사하지만, 분모와 분자의 방향이 다르다. Linear strain rate와 shear strain rate의 결과를 종합하여 아래와 같이 strain rate tensor를 정의할 수 있다.
$$e_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) $$
이 텐서의 diagonal term$(i=j)$은 linear strain rate를 의미하고 그렇지 않은 term은 shear strain rate를 의미한다.
다음은 vorticity와 circulation이다. Vorticity는 한국말로 하면 보통 와도라고 번역하는데, 회전의 정도를 크기로 가지고, 회전의 중심축을 방향벡터로 가지는 벡터를 의미한다. 책에 마땅한 그림이 없어서 내가 대충 그렸는데
유체 요소가 왼쪽처럼 있다가 회전해서 오른쪽처럼 됐다고 생각해보자. 위의 Kundu의 Figure 3.10과 같이 생각하면, 이 경우는 위의 shear strain 경우와 다르게 y축에서 음의 각도만큼 변형되는 것이다. 즉, 위의 Figure 3.10에서 $d\alpha$가 반대쪽 방향으로 생성됐다고 생각하면 된다.
이 경우에 이러한 유체 요소의 각속도는 두 방향의 각속도의 평균으로 정의된다. 즉 각속도는 $(-d\alpha /dt + d\beta /dt)/2$인데, vortiicty는 이 각속도의 두 배로 정의한다. Vorticity 주로 $\omega$로 표현하고, 내가 그린 그림과 같은 회전에서 회전축은 화면을 뚫고 나오는 방향이기 때문에 세 번째 방향을 도입한다.
$$\omega _3 = \left(-\frac{d\alpha}{dt}+\frac{d\beta}{dt} \right) = \frac{1}{dt} \left[\frac{1}{\delta x_2} \left(-\frac{\partial u_1}{\partial x_2} \delta x_2 dt \right) + \frac{1}{\delta x_1} \left( \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \delta x_1 dt \right) \right] = \frac{\partial u_2}{\partial x_1} - \frac{\partial u_1}{\partial x_2} $$
이를 일반적인 벡터로 나타내면
$$\mathbf{\omega} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{u}$$
또는 Levi Civita symbol을 사용해 tensor notation으로 나타내면
$$\omega _i = \epsilon _{ijk} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} $$
$\omega _i = 0$인 흐름을 irrotational flow라고 한다. 이는 아래와 같은데,
$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} =0$$
이 irrotationality condition이 아래와 같이 정의되는 어떤 함수 $\phi$의 존재를 보장한다.
$$u_i = \frac{\partial \phi}{\partial x_i} $$
위의 irrotationality 식에 $\phi$의 정의를 대입해보면 왜 그런지 쉽게 알 수 있을 거다. 이러한 $\phi$를 velocity potential이라고 부른다.
Vorticity와 관련이 있는 다른 개념은 circulation이다.
어떤 폐곡선 $C$ 주위의 circulation $\Gamma$는 tangential velocity의 선적분으로 정의된다.
$$\Gamma =\oint _C \mathbf{u} \cdot d\mathbf{s}$$
그런데 Stokes theorem에 따르면 다음이 성립한다.
$$\oint _C \mathbf{u} \cdot d\mathbf{s} = \int _A \nabla \times \mathbf{u} \cdot d\mathbf{A}$$
사실 이 Stokes theorem도 매우 clear한 것이, 어떤 폐곡선을 따라서의 어떤 물리량의 선적분은 해당 폐곡선으로 둘러쌓인 면을 통과하는 회전하는 정도의 flux라는 것을 의미하기 때문이다.
아무튼 vorticity의 정의를 고려하면 최종적으로 다음이 성립한다.
$$\Gamma = \int _A \mathbf{\omega} \cdot d\mathbf{A}$$
이 정의가 말해주는 것은 폐곡선을 따라서의 circulation은 vorticity의 flux라는 것이고, 어느 한 점에서의 vorticity는 단위면적당 circulation과 같다는 것이다.
지금까지 오일러리안과 라그랑지안을 통해 유체의 움직임을 계산하는 방법을 알아보고, 3개의 선을 통해 유체의 움직임을 표현하는 방법을 알아보고, strain과 rotation을 통해 유체가 어떻게 움직이는지를 알아봤다.
마지막으로 velocity graidient에 대해서 얘기하자면,
$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$
와 같이 쓸 수 있는데, 우변의 첫 번째 항은 strain rate tensor이고 두 번째 항은 rotation rate tensor의 절반이다. 즉, velocity gradient를 통해서 부피 팽창과 수축, 각변형, 회전 등을 설명할 수 있다는 것이다.
'유체역학' 카테고리의 다른 글
| [유체동역학] 4. 비회전유동, 포텐셜유동[Irrotational Flow, Potential Flow] (0) | 2025.03.02 |
|---|---|
| [유체동역학] 3. 흐름의 동역학, 보존방정식[Dynamics, Conservation Laws] (0) | 2025.03.02 |
| [유체동역학] 1. 정수역학[Fluid Statics] (0) | 2025.02.27 |
| [유체동역학] 0. 유체역학을 공부하기 위해 알아야 하는 것들 (0) | 2025.02.27 |
| Navier-Stokes 방정식에 대한 아주 기본적인 소개 (0) | 2024.07.19 |
