Navier-Stokes 방정식에 대한 아주 기본적인 소개

라기보다는, 티스토리 블로그에서 LaTeX 문법을 통해 수식 입력을 간편하게 할 수 있다고 해서, 그 수식 입력 기능을 테스트해보려고 쓰는 글이다. 그래서 아무 수식이나 써보려고 하는 것인데, 나름 공부 관련된 내용을 올리는 블로그에서 근의 공식같은 것을 써갈겨놓는 것은 너무 없어보이지 않나 싶어서 그나마 조금 있어보이는 나비에-스토크스 방정식을 적어보려고 한다.

 

나비에-스토크스 방정식은 꽤나 유명하다. 유체역학을 배워보지 않았더라도 수학에 좀 관심이 있거나, 공업수학2에서 편미분방정식에 대해서 배웠다면 한 번쯤은 들어봤을 방정식이다.

 

수학계에는 밀레니엄 문제라는 것이 있다. 1990년대에 수학자 앤드류 와일즈가 아주 클래식하면서 난제 중 수학계에서 가장 큰 존재감을 나타냈던 페르마의 마지막 정리라는 것을 해결했다. 그래서 수학자들이 이제 풀 문제가 없다고 징징거려서 클레이 수학 연구소에서 "그러면 너네 이 문제들이나 좀 해결해봐! 이거 해결하면 천 년동안 중요한 발견을 했다고 인정해줄게." 라고 하면서 제시한 7개의 난제들이다. 

 

밀레니엄 문제 중 가장 유명한 것은 아마 리만 가설일 것이다. 나비에-스토크스 방정식도 이 밀레니엄 문제 중 하나로, 쉽게 말하면 $F=ma$를 유체의 움직임을 설명할 수 있는 형태로 바꿔놓은 것이다. 

 

먼저 이 $F=ma$에 대해서 먼저 이야기하자면, 뉴턴의 제 2법칙이라고도 불리는데 사실 원형은 이것이 아니다. $F= \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} $가 원형으로, 힘은 운동량을 시간에 대해 미분한 것임을 나타내는 방정식이다. 그런데 일반적으로 많은 경우에, 질량은 시간이 변함에 따라 크게 변하지 않으므로 $F=m \frac{dv}{dt} = ma $가 되는 것이다. 로켓을 발사와 같이 연료의 양이 연속적으로 줄어들어서 전체 질량이 크게 변하는 경우에는 시간에 대한 질량의 변화율도 고려해야 한다고 한다. 

 

그런데, 유체 입자의 질량이 변할지 안변할지 모르기 때문에 일단은 $F=\frac{d(mu)}{dt}$라고 생각하자. 속도를 $v$ 대신 $u$라고 썼다. 질량은 밀도와 부피의 곱으로 나타낼 수 있으므로,

$$ F = \frac{d(\rho V u)}{dt}$$

이다. 그리고, 우리가 관심있는 유체의 부피 자체는 변하지 않는다고 생각해보자. 사실 이는 유체를 바라보는 기본적인 접근법 중 하나인데, 유체는 정해진 형태가 없기 때문에 일반적인 고체와 비슷한 접근법으로는 분석하기가 너무 어렵다. 그래서 관찰하고자 하는 부피를 정해놓고 유체를 관찰하자는 것이다. 

 

그렇다면 부피는 변하지 않으므로 부피의 시간 미분을 미분 밖으로 뺄 수 있고,

$$ F = V \frac{d(\rho u)}{dt}$$

$$ \frac{F}{V} = \frac {d(\rho u )}{dt}$$

와 같이 나타낼 수 있다. 

 

간단하게 핵심적인 의미만 생각해보면, $\frac{F}{V}$는 단위 부피당 힘을 말하는 것이고, $\frac{d(\rho u)}{dt}$는 밀도와 속도를 곱한 것을 시간으로 미분한 것이다. 

 

나비에 스토크스 방정식이란, 좌변에다가 밀도$\times$속도를 시간으로 미분한 것을 쓰고 우변에다가는 유체에 작용하는 모든 단위부피당 힘을 쓴 것이다. 

 

좌표계가 $x,~y,~z$이고, 각 방향에 대한 속도가 $u,~v,~w$라고 하자. 

간단한 상황에서 개념을 먼저 이해하고 그 이후에 완전한 방정식을 소개하기 위해서 속도는 $x$방향으로만 존재한다고, 즉 $v$와 $w$는 0이라고 가정하자. 그리고 $x$ 방향 속도 $u$는 $y$방향과 $z$방향에 대해 변하지 않고 오직 시간과 $x$방향에 대해서만 변한다고 가정하자. $y$나 $z$좌표가 달라도 $x$좌표만 같다면 속도 $u$는 같다는 말이다. 

좌변을 먼저 살펴보면,

$$\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} \right)$$

가 좌변이다.

 

사실 이런 식이 도출되기까지는 연속방정식이 필요한데, 이는 생략한다. 

이 중, 괄호 안에 있는 $\frac{\partial u}{\partial t}$는 쉽게 이해가 될 것이다. 단순히 속도를 시간으로 미분한 것이기 때문이다. 그런데 두 번째 항인 $ u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} $는 이해가 잘 안될 것이다. 좌변은 그냥 속도를 미분한 것이라면서 갑자기 이상한 게 튀어나왔다고 느낄 것이다. 

 

그런데 1학년 때 미적분에서 배웠던 것을 기억한다면, 두 번째 항이 속도에 대한 $x$ 방향의 방향도함수라는 것을 알 수 있다. 이에 대한 걸 간략하게 설명하자면, 우리가 일반적으로 자동차의 움직임을 생각할 때, 속도는 단순히 변위를 시간으로 미분한 것이고 가속도는 단순히 속도를 시간으로 미분한 것이다. 

 

그런데 유체와 자동차를 같게 생각할 수 있나? 만약 유체 입자 하나만을 생각한다면 자동차와 같은 관점으로 분석할 수 있을 것이다. 그런데 우리가 분석하고자 하는 유체는 입자 하나만으로 구성되어있지 않다. 애초에 입자 하나를 분리하는 것 자체가 매우 어려울 것이다(물 분자 하나, 공기 분자 하나). 

 

그래서 유체를 분석할 때는, 입자간의 상호작용에 의해 발생하는 뭔가를 고려해야 한다. 이를 advection 또는 convection이라고 한다. 한국말로는 이류 또는 대류라고 할 수 있겠다. 쉽게 생각하면, 내가 서울에서 부산까지 가는 SRT를 타고 있는데, 우주에서 나를 지켜보는 어떤 존재가 나의 가속도를 궁금해하는 것이다. 이런 상황에서, 그 존재는 기차의 가속도뿐만 아니라 기차 내에서 자판기를 가든 화장실을 가든 내가 움직이는 가속도까지 고려해야 한다는 것이다. 

 

Advection, 즉 기차 내에서 나의 움직임이 수학적으로 $ u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} $ 라고 표현되는 것이다. 그렇다면 이제 좌변은 어느정도 이해할 수 있을 것이다. 결국 가속도라는 것이고, 이 가속도가 고체와 비슷한 관점에서의 가속도와 advective acceleration, 즉 대류가속도라는 유체만의 독특한 가속도의 합으로 표현된다는 것이다.

 

우변은 좀 더 단순한데, 일반적으로 유체에 작용하는 외력이 무엇이 있을까 생각해보면 된다. 

당연히 중력은 작용할 것이고, 또한 압력이라는 것이 있을 것이다. 물의 경우 수압이 이에 해당할 것이고 기체의 경우에는 기압이 이에 해당할 것이다. 깊은 곳에 있는 물은 위에서 더 세게 누르기때문에 압력을 더 크게 받는다. 

또 뭐가 있을지 생각해보면 잘 생각이 나지 않을 것인데, 유체가 같고 있는 점성이라는 특징이 어떤 점성응력이라는 힘을 유발한다. 점성은 쉽게 생각하면 유체가 얼마나 끈적거리냐 하는 것인데, 같은 힘으로 꿀이랑 물을 떨어뜨리면 꿀이 더 느리게 떨어질 것이다. 이처럼 더 느리게 떨어지게 하는 힘을 점성력이라고 할 수 있다. 

 

그렇다면 그냥 우변은 압력에 의한 힘+중력에 의한 힘+점성력에 의한 힘을 쓰면 된다. 물론 이것은 일반적인 경우이고, 추가적인 외력이 있다면$($예를 들어서 내가 손으로 유체를 미는 것$)$, 그 힘을 더 써주면 되는 것이다. 

 

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

$$ -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \rho g_x $$

 

$\mu$ 는 물의 동점성계수로, 점성에 대한 어떤 특성 값을 가지고 있는 수라고 생각하면 된다. 첫 번째 항부터 압력에 의한 힘, 점성에 의한 힘, 중력에 의한 힘이 된다. 

 

그렇다면 좌변과 우변이 같다고 방정식을 구성하면

$$ \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \rho g_x $$

이 된다. 

 

그런데 여기에 도착하기까지 많은 가정을 했다. 대표적으로 $v$와 $w$가 없다는 것과, $u$가 $x$방향으로만 변한다는 것이다. 그런데 실제로는 $v$와 $w$는 있을 것이고 $u$도 $x$ 방향뿐만 아니라 $y$와 $z$방향에 대해서도 변할 것이다. 이런 것까지 반영해서 방정식을 수정하면

$$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} +v \frac{\partial{u}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{u}}{\partial{z}}  = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } \right)+ g_x $$

가 된다. 양변이 $\rho$로 나눠진 것과 $y,~z$방향 대류가속도 $ \left(v \frac{\partial{u}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{u}}{\partial{z}}\right)$, 그리고 점성력에 대한 표현이 $x$에 대한 2차 미분과 더불어 $y$와 $z$에 대한 2차 미분까지 추가된 것을 인지하면 된다. 

 

그런데 이것은 $u$에 대한 방정식, 즉 $x$방향 성분에 대한 방정식이고 실제로는 $y$와 $z$ 방향 성분 $v$와 $w$에 대한 식도 써줘야 한다. 모두 써보면

$$x : \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial{u}}{\partial{x}} +v \frac{\partial{u}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{u}}{\partial{z}}  = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 } \right)+ g_x $$

$$y : \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial{v}}{\partial{x}} +v \frac{\partial{v}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{v}}{\partial{z}}  = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2 } \right)+ g_y $$

$$z : \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial{w}}{\partial{x}} +v \frac{\partial{w}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{w}}{\partial{z}}  = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} + \nu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2 } \right)+ g_z $$

 

여러 방향의 성분에 대해서 표현해야 하는 식을 간략하게 표현하는 방법 중 하나가 Einstein's tensor notation인데, 이 방법으로 나비에-스토크스 방정식을 표현하면 다음과 같다. $($tensor notation은 잘 모르면 그냥 넘어가면 된다.$)$

 

$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j ^2} + g_i $$

 

이게 Navier-Stokes Equation인데, 정확히 말하자면 Navier-Stokes Equation의 momentum equation이다. Navier-Stokes Equation은 여기에다가 mass conservation equation $($질량보존의 법칙, 또는 연속방정식$)$을 추가해준 것이 완전한 세트라고 할 수 있다. 

 

여기까지 글을 써보니까, 확실히 티스토리에서 블로그를 개설하길 잘했다는 생각이 들었다. 원래는 잡글이 몇 개 있던 내 네이버 블로그에다가 이런 류의 글을 쓰려고 했었는데, 네이버 블로그는 수식 입력 기능이 너무 별로라고 해서 티스토리에 블로그를 새로 만든 것이다. 간단한 작업 하나만으로도 수식을 입력할 수 있어서 티스토리가 참 편한 것 같다.